[Acwing] 基础算法(三) 前缀和&差分

Thu, 25 Jun 2026 00:00:00 +0000

前缀和

一维前缀和

算法思路

使用 Sum 数组累加计算数值数组的和

sum[i] = sum[i-1] + a[i]

从而可以很快的求出某个区间的和，例如

sum[l~r] = sum[r] - sum[l-1]

核心代码展示

    for(int i = 1; i <= n ; i ++ ) cin>>a[i];
    for(int i = 1; i <= n ; i ++) s[i] = s[i-1] + a[i];
    while(m -- ) {
        int l , r ;  cin >> l >> r;
        cout<<s[r] - s[l-1]<<endl;
    }

时间复杂度分析

在只有一次区间询问的时候和 for 循环直接计算无异都是o(n)

但是在多次区间询问的时候可以提前把和计算出来从而使得 o(n*m) 变成 o(n+m)

感悟

小学数学

二维前缀和

算法思路

通过数学方法将 Sxy 代表二维空间中矩形的面积，从而根据二维关系进行处理
不过需要注意的是我们在处理一个区域的面积大时候，需要保证角落上的点也被计算所以就需要 S[x1][y2-1] 以及 s[x2-1][y1] 这种处理

由于作图的时候只有点线，并没有画出具体的面，所以导致写代码的时候很少联想到

核心代码展示

    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        for(int j = 1; j <= m ; j ++ ) {
            cin>>a[i][j];
            s[i][j] = a[i][j] + s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1];
        }
    
    while(q -- ) {
        int x1,y1,x2,y2 ;
        cin >> x1>>y1>>x2>>y2;
        cout<< s[x2][y2] - s[x2][y1-1]  - s[x1-1][y2] + s[x1-1][y1-1]<<endl;
    }

时间复杂度分析

o(n*m)

感悟

不用死记公式，根据二维图像脑中进行想象

差分

一维差分

算法思路

使用 Sum 数组累加计算数值数组的和

sum[i] = sum[i-1] + a[i]

从而可以很快的求出某个区间的和，例如

sum[l~r] = sum[r] - sum[l-1]

核心代码展示

    for(int i = 1; i <= n ; i ++ ) cin>>a[i];
    for(int i = 1; i <= n ; i ++) s[i] = s[i-1] + a[i];
    while(m -- ) {
        int l , r ;  cin >> l >> r;
        cout<<s[r] - s[l-1]<<endl;
    }

时间复杂度分析

在只有一次区间询问的时候和 for 循环直接计算无异都是o(n)

但是在多次区间询问的时候可以提前把和计算出来从而使得 o(n*m) 变成 o(n+m)

感悟

小学数学

二维前缀和

算法思路

构造数组 b[i]=a[i]-a[i-1] 是的 Sum[b[]] = a[i]

如果我们需要对一个区间进行一次操作，如 计算区间 [l,r] +c 之后的总和，我们很自然的可以想到 s[r]-s[l-1] + (r-l+1)*c

但是如果我们需要对不同的区间进行多次操作,我们就没办法这样

基于 sum[b[]] = a[i] 的性质，我们对 b[l]+c 并且对 b[r+1]-c 我们得到的数组就是

b[l]=a[l]-a[l-1]+c, b[l+1] = a[l+1]-a[l], .... b[r+1] = a[r+1] - a[r] - a[r]

如果计算前缀和的话会变成

a[l] + ... a[r] + (r-l+1)*c

核心代码展示

void insert(int l,int r,int c) {
    b[l]  += c ;
    b[r+1] -= c;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++) insert(i,i,a[i]);
    while(m -- ) {
        int l, r, c; cin>>l>>r>>c;
        insert(l,r,c);
    }
    for(int i = 1; i <= n ; i ++ ) b[i] += b[i-1];
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cout<<b[i]<<" ";
    return 0;
}

时间复杂度分析

差分时间复杂度 O(1)

感悟

这里说实话就有点抽象了，不实际想想或者是推导很难理解这部分代码

二维差分

算法思路

我们在已知一维差分的操作会因为前缀和的原因导致操作值累加在区间上

在不推导差分数组的前提下 :

我们可以直观的想想如果我们在 x1,y1增加 c 那么剩下的范围都会被影响，即取一个差集

所以我们如果需要给 x1,y1 ,x2,y2 增加 c 的话我们应该

x1,y1 +c,x1,y2+1 -c, x2+1,y1 -c , x2+1,y2+1 +c

从而使得我们的矩形能够加 c

反过来如果我们给 x1,y1,x1,y1 这个区间增加 c 那么最终我们得到的就是原始的数组

核心代码展示

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c) {
    b[x1][y1] += c;
    b[x2+1][y1] -= c;
    b[x1][y2+1] -= c;
    b[x2+1][y2+1] += c;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
    
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i = 1; i <= n ; i ++ )
        for(int j = 1 ; j <= m ; j ++ ){
            int c ;cin>>c;
            insert(i,j,i,j,c);
        }
    
    while(q -- ) {
        int x1,x2,y1,y2; cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        int c ; cin>>c;
        insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n ; i ++ )
        for(int j = 1; j <= m ; j ++ )
        b[i][j] += ( b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1]);
    for(int i = 1; i<= n ; i ++ ) {
        for(int j = 1; j <= m ;j ++ ){
        cout<<b[i][j]<<" ";
         }
         cout<<endl;
    }
        
    return 0;
}

时间复杂度分析

O n*m

感悟

二维差分说实话一开始没反应过来，我听y总讲的时候，感觉怎么跳的这么快，连构造数组都不出，原来这里反向思考了一下

而且对于 (x2 + 1) 我刚开始以为 x 是列，问了 gemini 后才知道是行

前缀和&差分 on GzzhM

[Acwing] 基础算法(三) 前缀和&差分

前缀和

一维前缀和

算法思路

核心代码展示

时间复杂度分析

感悟

二维前缀和

算法思路

核心代码展示

时间复杂度分析

感悟

差分

一维差分

算法思路

核心代码展示

时间复杂度分析

感悟

二维前缀和

算法思路

核心代码展示

时间复杂度分析

感悟

二维差分

算法思路

核心代码展示

时间复杂度分析

感悟